了解不完全 Gamma 函数的奥秘：定义、公式和性质 (不完全解理)

前言

Gamma 函数在概率论、统计学和应用数学等领域有着广泛的应用。为了扩展 Gamma 函数的适用范围，数学家们提出了不完全 Gamma 函数的概念。文章将带你深入理解不完全 Gamma 函数的定义、公式和性质，揭开它神秘的面纱。

定义

不完全 Gamma 函数，记为 Γ(a, z) ，定义为：

其中， a 为一个大于 0 的实数参数， z 为一个复参数。

不完全 Gamma 函数的公式

不完全 Gamma 函数与 Gamma 函数的定义公式相类似，但多了 z 这个上界积分项。以下是一些重要的公式：

• 不完全 Gamma 函数与 Gamma 函数的关系： Γ(a, z) = Γ(a) - Γ _z (a)
• 对 a 求导： ∂Γ(a, z)/∂a = z ^a-1 e ^-z
• 对 z 求导： ∂Γ(a, z)/∂z = a Γ(a-1, z)
• 渐近展开：当 z → ∞ 时， Γ(a, z) ≈ z ^a-1 e ^-z [1 + O(z ^-1 )]

性质

不完全 Gamma 函数具有许多有用的性质，它们在解决各种实际问题时至关重要：

• 正性： Γ(a, z) > 0 。
• 单调性：对于固定的 a ， Γ(a, z) 随着 z 的增加而单调递增。
• 半群性质： Γ(a, u + v) = ∫ ₀ ^u Γ(a, t) dΓ(a, v-t) 。
• 递推关系： Γ(a+1, z) = a Γ(a, z) + z ^a e ^-z 。

应用

不完全 Gamma 函数在以下领域有着广泛的应用：

• 概率论：不完全 Gamma 函数用于求解截断正态分布、t 分布和其他不完整分布的累积分布函数。
• 统计学：不完全 Gamma 函数用于拟合具有不对称尾部的分布，例如偏正态分布和偏 t 分布。
• 金融工程：

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