Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)(Γ(z)Γ(1-z))

Γ函数，又称伽马函数，是一个推广阶乘函数到复平面的函数。它的定义如下：

Γ(z) = ∫ ₀ t ^z-1 e ^-t dt

对于正整数n，Γ(n) = (n-1)!

Γ函数满足以下乘积公式：

Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)

这个公式可以用来求解许多积分，例如：

∫ ₀ t ^α-1 (1+t) ^β-1 dt = B(α, β)/Γ(α)Γ(β)

其中B(α, β)是贝塔函数。

证明

我们可以使用Γ函数的积分定义来证明乘积公式：

Γ(z)Γ(1-z) = ∫ ₀ e ^-t t ^z-1 dt ∫ ₀ e ^-u u ^-z du

令t = u，我们得到：

Γ(z)Γ(1-z) = ∫ ₀ e ^-t t ^z-1 t ^-z dt

这进一步简化为：

Γ(z)Γ(1-z) = ∫ ₀ e ^-t dt

结果等于1，因此我们有：

Γ(z)Γ(1-z) = 1

再除以sin(πz)，我们得到：

Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)

这就是我们要证明的公式。

应用

Γ函数的乘积公式在数学和物理中有着广泛的应用，包括：

• 求解积分
• 研究复分析
• 概率论和统计学
• 量子力学

这是一个非常有用的公式，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。

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