克鲁斯卡尔算法：无向图的最小生成树算法 (克鲁斯卡尔算法求最小生成树)

克鲁斯卡尔算法是一种经典的贪心算法，用于在给定的无向连通图中寻找最小生成树。最小生成树是一组边，连接图中所有节点，且总权重最小。克鲁斯卡尔算法的工作原理是，按边的权重递增顺序，将边添加到树中，直到所有的节点都被连接。

算法步骤

1. 初始化：将每个节点作为单独的连通分量。
2. 按权重递增顺序排序图中的所有边。
3. 依次考虑每一條边，如果边连接两个不同的连通分量，则将该边添加到树中并合并这两个连通分量。
4. 继续步驟 3，直到图中所有节点都被连接。

算法实现

下面使用 Python 实现克鲁斯卡尔算法：```pythondef find_parent(node, parents):"""Find the parent of a node in the parent array.Args:node: The node to find the parent for.parents: The parent array.Returns:The parent of the node."""if parents[node] == node:return nodeelse:return find_parent(parents[node], parents)def union(node1, node2, parents):"""Union two nodes in the parent array.Args:node1: The first node to union.node2: The second node to union.parents: The parent array."""parent1 = find_parent(node1, parents)parent2 = find_parent(node2, parents)if parent1 != parent2: parents[parent2] = parent1def kruskal(graph):"""Finds the minimum spanning tree of a graph.Args:graph: The graph to find the minimum spanning tree of.Returns:The minimum spanning tree of the graph."""Initialize the parent array.parents = [i for i in range(len(graph))]Sort the edges by weight.edges = [(weight, node1, node2) for node1, node2, weight in graph]edges.sort()Initialize the minimum spanning tree.mst = []Iterate over the edges.for weight, node1, node2 in edges:Check if the nodes are in different connected components.if find_parent(node1, parents) != find_parent(node2, parents):Add the edge to the minimum spanning tree.mst.append((node1, node2, weight))Union the two connected components.union(node1, node2, parents)Return the minimum spanning tree.return mst```

算法复杂度

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为 O(E log V)，其中 E 是图中边的数量，V 是图中节点的数量。

应用

克鲁斯卡尔算法广泛用于许多应用中，包括：

• 网络设计
• 流体网络优化
• 图像分割
• 聚类分析

例子

考虑如下无向图： 使用克鲁斯卡尔算法，我们可以找到该图的最小生成树： 最小生成树的权重为 21。

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