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Γ(z+1) = zΓ(z)

文章编号:4894时间:2024-09-12人气:


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Γ 函数是一个在复平面上的特殊函数,在数学和物理中有着广泛的应用。它具有以下递推关系:

Γ(z+1) = zΓ(z)

这个关系可以通过积分表示来证明:

Γ(z+1) = ∫ 0 t z e -t dt
使用积分 by parts:
Γ(z+1) = - t z e -t | 0 + z∫ 0 t z-1 e -t dt
显然,第一个项为 0,因此:
Γ(z+1) = z∫ 0 = t z-1 e -t dt
t = u 带入积分,得到:
Γ(z+1) = z∫ 0 u z-1 e zΓ -u du
Γ(z+1) = zΓ(z)

应用

Gamma 函数的递推关系在数学和物理中有着广泛的应用,包括:
  • 求解积分和级数
  • 计算特殊函数,如正态分布和超几何分布
  • 解微分方程
  • 统计学和概率论
  • 量子力学

结论

Gamma 函数的递推关系是一个重要的数学工具,在理解和求解各种问题中有着广泛的应用。它为数学家、物理学家和工程师提供了一种通过递推来计算 Γ 函数值的方法

相关标签: zΓ1=z

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